Гильбертово пространство может быть еще определено как полное унитарное векторное пространство. А унитарным (или эрмитовым, либо предгильбертовым) пространство является в том случае, если каждой паре векторов этого пространства можно поставить в соответствие их скалярное произведение. Все конечномерные действительные унитарные векторные пространства называются евклидовыми пространствами и служат моделями n-мерных евклидовых геометрий. И вот что интересно! Если существует любая конечная или счетная система линейно независимых векторов в гильбертовом пространстве, то существует также ортонормированная система, пораждающая то же самое линейное многообразие. Под линейным многообразием понимается совокупность векторов из линейного (подчеркиваю!) векторного пространства, состояющего из векторов над кольцом скаляров, где допускается сложение векторов и умножение векторов на скаляры. Причем упомянутое векторное пространство является также коммутативной группой относительно сложения векторов
